ACTIVIDAD FINAL


Resolver Sistemas Lineales
de dos ecuaciones con dos incógnitas
utilizando el método gráfico



NIVEL EDUCATIVO Y CURSO: Matemáticas 2º de la ESO

OBJETIVOS DIDÁCTICOS:

Comprender el concepto de ecuación como una igualdad en la que hay que hallar el valor de la incógnita que la hace verdadera.

Resolver sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incognitas mediante el método gráfico.

Saber interpretar geométricamente el número y la existencia o no de soluciones de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos

incógnitas.


Contenidos



Cada una
de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es la de una función de primer grado, es decir, una recta. El método gráfico para resolver este tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así, dónde. Esta última afirmación contiene la filosofía del proceso de discusión de un sistema por el método gráfico.
Hay que tener en cuenta, que, en el plano, dos rectas sólo pueden tener tres posiciones relativas (entre sí): se cortan en un punto, son paralelas o son coincidentes (la misma recta). Si las dos rectas se cortan en un punto, las coordenadas de éste son el par (x, y) que conforman la única solución del sistema, ya que son los únicos valores de ambas incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del sistema, por lo tanto, el mismo es compatible determinado. Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, por lo que no hay ningún par de números que representen a un punto que esté en ambas rectas, es decir, que satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la vez, por lo que éste será incompatible, o sea sin solución. Por último, si ambas rectas son coincidentes, hay infinitos puntos que pertenecen a ambas, lo cual nos indica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de las rectas), luego éste será compatible indeterminado.
El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resume en las siguientes fases:

a. Se despeja la incógnita y en ambas ecuacione
b. Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes.
c. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
d. En este último paso hay tres posibilidades:

  1. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas x e y. Sistema compatible determinado.
  2. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. Sistema compatible indeterminado.
  3. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. Sistema incompatible.

Veamos el ejemplo visto en los métodos analíticos para resolverlo gráficamente y comprobar que tiene, se use el método que se use, la misma solución
Ejemplo

Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno.?


Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:


x + y = 600
2x - y = 0
Para resolver el sistema por el método gráfico despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones y tendremos:

y = -x + 600
y = 2x
Vamos ahora, para poder representar ambas rectas, a calcular sus tablas de valores:


y = -x + 600
y = 2x
x
y
x
y
200
400
100
200
600
0
200
400
Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas apropiadas en los ejes OX y OY, podemos ya representar graficamente

imagen_actividad_final.JPG
Si observamos la gráfica, vemos claramente que las dos rectas se cortan en el punto (200, 400), luego la solución del sistema es x = 200 e y = 400. Por tanto, la respuesta al problema planteado es que Ana tiene 200 euros y Sergio tiene 400 euros, es decir, el mismo resultado, evidentemente, que habíamos obtenido con los tres métodos analíticos



CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Teniendo en cuenta los objetivos que nos marcamos para esta Unidad Didáctica, los criterios de evaluación que se van a seguir son los que nos van a permitir evaluar la capacidad del alumno para:

Utilizar adecuadamente los conceptos sobre representación gráfica de funciones, juzgando la elección de escalas, intervalos, precisión, elaborar las tablas, etc.

Presentar en los cuadernos y en las manifestaciones orales procesos bien razonados del trabajo matemático y argumentar con criterios lógicos; ser flexible para cambiar de punto de vista en función de la argumentación convincente de los compañeros/as y perseverar en la búsqueda de soluciones para las actividades, especialmente en el caso de los problemas.


RECURSOS:

En cuanto a los recursos materiales, aún cuando el lápiz y el papel, o la tiza y la pizarra, y el libro de texto siguen siendo materiales imprescindibles en una clase de matemáticas, quedan ya lejos los tiempos en que éstos eran los únicos recursos didácticos que un profesor/a de esta área poseía. Hoy en día, tenemos a nuestro alcance una amplia gama de recursos materiales aunque, en muchos casos, no se dispone de presupuesto en el centro educativo para poner a disposición del profesorado dichos recursos. Entre ellos se pueden mencionar: la calculadora científica, el ordenador, las cintas de vídeo, las diapositivas, los retroproyectores, etc. Es misión del profesor/a gestionar racionalmente su uso para permitir un aprovechamiento óptimo de los alumnos/as.

Los recursos materiales que se utilizan en esta unidad son los siguientes: libros de texto, calculadoras científicas, hojas de papel milimetrado, ordenadores. También sería deseable poder contar con un Display que permitiese que, en un aula, todos los alumnos/as pudiesen observar en una pantalla de proyección lo que el profesor/a u otro alumno/a hicieran en el ordenador,
El espacio físico en el que se desarrolla el proceso de enseñanza-aprendizaje tiene, en esta unidad en particular, dos escenarios distintos y, a veces, simultáneos: el aula del grupo en cuestión y el aula de informática. En el aula de informática los alumnos/as manejarán el conocido programa geogebra en su aspecto de herramienta fácil de manejar para la representación gráfica de funciones, ya que es un aspecto muy importante de la Unidad Didáctica el método gráfico de resolución de los sistemas de ecuaciones.

TEMPORALIZACIÓN:

Deberían bastar con cuatro sesiones de 55’ minutos


METODOLOGÍA:

La metodología de trabajo del profesor/a y los alumnos/as es uno de los puntos cruciales, si no el punto clave, que enmarcan las relaciones entre todos los sujetos que conforman los procesos de enseñanza-aprendizaje. El uso de una determinada metodología, o de distintas estrategias metodológicas si hace al caso, puede hacer óptimos, por un lado, el proceso de enseñanza del profesor/a y, por otro, los procesos de aprendizaje de los alumnos/as. El profesor/a tiene un papel crítico en la creación de un clima de relaciones en el aula que transforme a ésta en un lugar de trabajo compartido.
Las fases de trabajo y los recursos metodológicos que se utilizan en esta Unidad Didáctica son los siguientes:

o Planteamiento de la necesidad del estudio del tema a partir de problemas basados en situaciones reales.
o Exploración de los conocimientos iniciales de los alumnos/ as y realización de actividades de refuerzo para aquellos en los que se detecte alguna laguna.
o Explicación del tema por parte del profesor/a con la intervención y participación de los alumnos/as y la realización de algunas actividades que sirvan para desarrollar determinados aspectos del tema.
o Realización de actividades de consolidación del tema.
o Resolución de problemas y actividades de refuerzo o ampliación según sea el caso.
o Realización de tareas de investigación en equipo. Posteriormente, los resultados de cada grupo en el trabajo de investigación serán expuestos en clase, debatidos los resultados diferentes entre los grupos, etc.

Además de estas "fases", hay que tener en cuenta la utilización de diferentes recursos metodológicos o estrategias didácticas entre las que se pueden mencionar:
o Resumir y sistematizar el trabajo hecho relacionándolo con actividades anteriores.
o Orientar y reconducir el trabajo de los alumnos/as, ya sea individual o en grupo.
o Crear un ambiente de trabajo que facilite las relaciones de comunicación durante la clase, sin agobios de tiempo.
o Hacer entender a los alumnos/as que los errores son una poderosa fuente de aprendizaje.
o Estructurar la secuencia de tareas que han de realizar los alumnos/as.
o Individualizar, dentro de lo posible, el seguimiento del aprendizaje de cada alumno/a.
o Coordinar los distintos ritmos de trabajo y de adquisición de conocimientos.
o Explicitar el proceso y los instrumentos de evaluación.
o Evaluar la metodología a posteriori.

Por último, hay que hacer mención de la importancia que tienen, desde el punto de vista metodológico y didáctico, distintos aspectos como la utilización del tiempo, del espacio, del agrupamiento flexible de alumnos/as, etc.:
o En la utilización del tiempo, el profesor/a debe tratar de distribuir los tiempos entre los distintos tipos de tareas que los alumnos/as van a realizar con él: intervenciones del profesor/a, diálogos abiertos, trabajo individual, trabajo en grupo, exposiciones de alumnos/as, debates, etc.
o El espacio físico en el que se desarrollan los procesos de enseñanza-aprendizaje es un elemento muy importante en dichos procesos. Hay que tener en cuenta la distribución de las mesas según sea el tipo de trabajo que se vaya a realizar (individual, en grupo, exposición, etc.); se deben tener a mano los recursos materiales que sean necesarios en cada momento de la unidad didáctica, etc. A veces, será necesario dividir al grupo-clase en dos o más subgrupos de trabajo, por ejemplo, si es necesaria la utilización del aula de informática, o dar la clase en el exterior del edificio si hay que realizar algunas mediciones, utilizar la biblioteca del centro, el salón de actos, etc.
o El agrupamiento de los alumnos/as debe ser flexible, es decir, los alumnos/as deben poder tener respuesta puntual en función de sus diferencias en niveles de conocimiento, ritmos de aprendizaje, interés y motivación, etc. También se diferenciarán los agrupamientos de alumnos/as en la realización de trabajos en pequeños grupos, refuerzos para alumnos/as con un ritmo de aprendizaje más lento, ampliación para alumnos/as con un ritmo más rápido, realización de talleres, utilización de diversos recursos materiales (ordenadores, libros de consulta, etc.), y, en general, en función de la naturaleza de las diferentes actividades que se realicen.

En cuanto a las distintas formas de agrupamiento de los alumnos/as, éstas dependerán del momento de desarrollo de la unidad en que nos encontremos. En general, el agrupamiento será de todo el grupo-clase, salvo en las siguientes situaciones:
§ Realización de tareas de investigación en grupo: En este caso se reunirán en pequeños grupos de tres o cuatro alumnos/as como máximo.
§ Realización de actividades de refuerzo o ampliación: En estos momentos se agruparán en función de los distintos ritmos de aprendizaje.

Actividades
Las actividades que proponemos para esta Unidad Didáctica se dividen en varios tipos según su grado de dificultad y el momento de su resolución, por parte del alumno, en el desarrollo de la Unidad. Así, tendremos los siguientes tipos de actividades:
  1. Iniciales
  2. De desarrollo
  3. De consolidación
  4. De refuerzo
  5. De ampliación
  6. Trabajos en equipo

Actividades iniciales
De cada uno de estos bloques de actividades proponemos, a manera de ejemplo, algunos ejercicios, sin que esto signifique que en el desarrollo de la Unidad sólo se realicen esos ejercicios.
Entendemos como actividades iniciales aquellas que se realizan, o bien antes de empezar el tema, para introducirlo, o bien al principio del mismo, para ir motivando al alumno/a y hacerle comprender los objetivos que puede ir alcanzando a lo largo del desarrollo de la materia. Proponemos como ejemplos de actividades iniciales las siguientes:

A- En esta actividad, lee los pasos siguientes con atención, puesto que cada uno de ellos está relacionado con el anterior, y contesta las preguntas que se te proponen:

  1. Busca parejas de números que sumen 10 y, por otro lado, parejas de números cuya diferencia sea 2.
  2. ¿Cuántas parejas hay de cada tipo?. ¿Seguro?. ¿Has considerado sólo los números enteros o has trabajado también con racionales?. Si no lo has hecho, hazlo ahora. ¿Cuántas te salen ahora de cada tipo?.
  3. Tomando cada pareja de cada uno de los dos tipos como un par (x, y), represéntalas en unos ejes coordenados (ambos conjuntos de pares de números en los mismos ejes).
  4. ¿Qué figuras se han formado en la representación?. ¿Serías capaz de poner en forma de ecuaciones las dos figuras que te han salido en la gráfica?
  5. ¿Cuántos pares de números de los que has hallado y representado cumplen las dos cosas?, es decir, ¿cuántos pares de números hay que sumen 10 y cuya diferencia sea 2?
  6. Considerados como puntos (par de coordenadas), ¿dónde está(n) situado(s) en la gráfica?
  7. Si has hallado en un apartado anterior las ecuaciones, ¿qué significado crees que tendrá el (o los) punto(s) que cumple(n) ambas condiciones?
Actividades de Desarrollo
Estas actividades de desarrollo son las que los alumnos/as deben ir realizando a lo largo del tema, por ello, son actividades que, en principio, no van más allá de comprobar si se han adquirido los procedimientos relativos al primer nivel de utilización de los conocimientos. A modo de ejemplo, proponemos las siguientes:

  1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando, para cada uno de ellos, el método grafico:



  • Dibujo1.JPG





  1. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones mediante el método gráfico. Clasifica el sistema según sus soluciones.


Dibujo2.JPG


Actividades de Consolidación
Las actividades de consolidación, como su propio nombre indican, son las que van a ayudar a los alumnos/as a consolidar los conocimientos adquiridos a lo largo del desarrollo de la Unidad Didáctica. Como ejemplo de estas actividades, proponemos las siguientes:

  1. Los gráficos a), b) y c) son la representación gráfica de los sistemas S, S' y S'' . Indica qué gráfico corresponde a cada sistema:

Dibujo3.JPG

Actividades de Refuerzo
Estas actividades de refuerzo son de un nivel de contenidos algo más bajos y van dirigidas a aquellos alumnos/as que tienen algunas dificultades de aprendizaje al adquirir los procedimientos de esta Unidad Didáctica. A modo de ejemplo, proponemos las siguientes:


  1. ¿De cuáles de estos sistemas es solución el par x = 1, y = -3?



dibujo4.jpg
2. Escribe otro sistema que tenga la misma solución.
3. Un grupo de amigos tuyos alquila una casa rural para pasar un "puente". Le preguntan al dueño si hay animales en la casa, cuántos y de qué tipo. El dueño, dándoselas de "gracioso" delante de los, según él, tontos de la capital les responde: "Tenemos 22 cabezas y 70 patas entre conejos y pájaros".



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Trabajos en equipo
Al final de la Unidad Didáctica se proponen unos trabajos de investigación para realizar en equipo. Con ello se pretende estimular la capacidad de observación, deducción, análisis, etc. de los alumnos/as. Además se refuerzan actitudes como el trabajo en equipo, lsolidaridad, etc. En esta Unidad Didáctica, algunos de los trabajos que se pueden proponer son los siguientes.



  1. Esta tarea de investigación, que se ha de hacer en equipo, consiste, a grosso modo, en buscar un método rápido y fácil de clasificar a primera vista los sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas. Para ello, hay que seguir los siguientes apartados paso a paso:
a- Resuelve y clasifica, según la existencia o no de soluciones y, si las hay, el número de ellas, los siguientes sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

Dibujo5a.JPG


b. Sabiendo ya si cada uno de los sistemas del apartado anterior es incompatible, compatible determinado o compatible indeterminado, o sea, si no tiene solución, tiene una o tiene infinitas, observa ahora con atención los coeficientes de cada uno de los sistemas. ¿Notas alguna propiedad especial entre los de alguno de los tipos ya mencionados? Si es así, ¿cuál?
c. Con las características descubiertas en el apartado anterior, pon un ejemplo, sin resolverlos, de cada uno de los tres tipos de sistemas.
d. Si ya has descubierto cuál es la propiedad que cumplen los coeficientes de cada tipo de sistema y has sido capaz, en el apartado anterior, de poner un ejemplo de cada uno de ellos, debes estar capacitado para enunciar, ahora sin ejemplos, con palabras, esta interesante propiedad que has observado.
e. Por último, ¿qué relación hay entre esta característica de los coeficientes de los sistemas según el tipo al que pertenezcan y su resolución gráfica?. Es decir, ya sabemos como es la representación gráfica de las rectas de un sistema incompatible (paralelas), de uno compatible determinado (se cruzan) y compatible indeterminado (coincidentes); ¿qué tienen que ver esas distintas posiciones con la propiedad que has observado de los coeficientes de los sistemas de ecuaciones?
2. Existen sistemas de ecuaciones que tienen curiosas propiedades. Entre ellos se encuentran aquellos en los que sus coeficientes son números naturales consecutivos como el siguiente:

Dibujo6.JPG
Formad pequeños grupos de trabajo en equipo y contestad razonadamente las siguientes preguntas:

    1. Resolved el sistema anterior mediante uno cualquiera de los métodos analíticos y, además, gráficamente. ¿Cuál es la solución?. Es decir, ¿en qué punto se cortan las rectas que determinan cada una de las ecuaciones que forman el sistema?
    2. Repetid el proceso del apartado a) para este otro sistema:
Dibujo7.JPG

con a y b números naturales, ¿en qué punto se cortarán las rectas que determinan cada una de las ecuaciones que forman el sistema?. Es decir, ¿cuál será la solución del sistema?

    1. ¿Seríais capaces de "aventurar", razonadamente, por qué ocurre lo que habeis deducido en el apartado anterior del ejercicio?








Atención a la diversidad.

Los alumnos con dificultades se les entregaran un guión muy detallado explicativos de los pasos que hay que seguir para poder elaborar las tablas trazar las graficas manejar las coordenadas.



También se hará grupos heterogéneos donde puedan los alumnos intercambiar las ideas El agrupamiento de los alumnos/as debe ser flexible, es decir, los alumnos/as deben poder tener respuesta puntual en función de sus diferencias en niveles de conocimiento, ritmos de aprendizaje, interés y motivación, etc. También se diferenciarán los agrupamientos de alumnos/as en la realización de trabajos en pequeños grupos, refuerzos para alumnos/as con un ritmo de aprendizaje más lento, ampliación para alumnos/as con un ritmo más rápido, realización de talleres, utilización de diversos recursos materiales (ordenadores, libros de consulta, etc.), y, en general, en función de la naturaleza de las diferentes actividades que se realicen..